已知函数f(x)=∫x0t(t-4)dt；若不等式f+2x+2＜m在[0，2]内有解，求实数m的取值范围；若函数g(x)=f(x)+a-13在

题文

已知函数f(x)=∫x0t(t-4)dt；
（1）若不等式f（x）+2x+2＜m在[0，2]内有解，求实数m的取值范围；
（2）若函数g(x)=f(x)+a-13在区间[0，5]上没有零点，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f(x)=∫x0t(t-4)dt=(13t3-2t2)|x0=13x3-2x2
∴f′（x）=x²-4x
不等式f（x）+2x+2＜m可化为m＞x²-2x+2
∵不等式f（x）+2x+2＜m在[0，2]内有解，
∴m＞（x²-2x+2）_min（x∈[0，2]）
∵x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴当x∈[0，2]时，（x²-2x+2）_min=1
∴m＞1，
∴实数m的取值范围为（1，+∞）
（2）由（1）得g(x)=13x3-2x2+a-13，
∴g′（x）=x²-4x=x（x-4）
则当x∈[0，4]时，g′（x）≤0；当x∈（4，5]时，g′（x）＞0
∴当x=4时，g（x）的最小值为g（4）=a-11
∵函数g（x）在区间[0，5]上没有零点，
∴a-11＞0或g(0)=a-13＜0g(5)=-263+a＜0
∴a＞11，或a＜13
∴实数a的取值范围为（11，+∞）∪（-∞，13）．

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解析

∫x0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=∫x0t(t-4)dt.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。