题文
已知二次函数f（x）满足条件f（0）=0，f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有等根．（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数m，n，使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵f（x）是二次函数，设f（x）=ax2+bx+c （a≠0）∵f（0）=0
∴c=0
∴f（x）=ax2+bx
又∵f（-x+5）=f（x-3）
∴函数f（x）的对称轴为x=1
∴-b2a=1
又∵方程f（x）=x，即ax2+（b-1）x=0有等根
∴（b-1）2=0
∴b=1，a=-12
∴f(x)=-12x2+x
（2）假设存在实数m，n，使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]
∵f(x)=-12x2+x=-12(x-1)2+12≤12
∴3n≤12
∴n≤16
又函数f（x）的对称轴为x=1，且开口向下
∴f（x）在[m，n]上单调递增
∴f(m)=3mf(n)=3n，即-12m2+m=3m-12n2+n=3n
又m＜n
∴m=-4，n=0
∴存在实数m=-4，n=0满足题意
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解析
b2a考点
据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）满足条件f（0）=0.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
