二次函数f满足f=f=0，且最小值是-14．求f的解析式；实数a≠0，函数g=xf+x2-a2x，若g

题文

二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是-14．
（1）求f（x）的解析式；
（2）实数a≠0，函数g（x）=xf（x）+（a+1）x²-a²x，若g（x）在区间（-3，2）上单调递减，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0．设f（x）=ax（x-1）（a≠0），
则f(x)=ax2-ax=a( x-12 )2-a4．
又f（x）的最小值是-14，故-a4=-14．解得a=1．
∴f（x）=x²-x；                                   …（4分）
（2）g（x）=xf（x）+（a+1）x²-a²x=x³-x²+ax²+x²-a²x=x³+ax²-a²x．
∴g'（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a）． …（6分）
由g'（x）=0，得x=a3，或x=-a，又a≠0，故a3≠-a．…（7分）
当a3＞-a，即a＞0时，由g'（x）＜0，得-a＜x＜a3．    …（8分）
∴g（x）的减区间是( -a ， a3 )，又g（x）在区间（-3，2）上单调递减，
∴-a≤-3a3≥2，解得a≥3a≥6，故a≥6（满足a＞0）；          …（10分）
当a3＜-a，即a＜0时，由g'（x）＜0，得a3＜x＜-a．
∴g（x）的减区间是( a3 ， -a )，又g（x）在区间（-3，2）上单调递减，
∴a3≤-3-a≥2，解得a≤-9a≤-2，故a≤-9（满足a＜0）．       …（13分）
综上所述得a≤-9，或a≥6．
∴实数a的取值范围为（-∞，-9]∪[6，+∞）．                …（14分）

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。