题文
已知函数f(x)=ax2-12x+ca、c∈R满足条件：①f（1）=0；②对一切x∈R，都有f（x）≥0．（Ⅰ）求a、c的值；
（Ⅱ）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）当a=0时，f(x)=-12x+c．由f（1）=0得：-12+c=0，即c=12，∴f(x)=-12x+12．
显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．
∴a≠0，函数f(x)=ax2-12x+c是二次函数． …（2分）
由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函数的性质可得
a＞0(-12)2-4ac≤0.
即a＞0ac≥116＞0.（*）…（4分）
由f（1）=0得 a+c=12，即c=12-a，代入（*）得 a(12-a)≥116．
整理得 a2-12a+116≤0，即(a-14)2≤0．
而(a-14)2≥0，∴a=14．
将a=14代入（*）得，c=14，
∴a=c=14． …（7分）
另（Ⅰ）当a=0时，f(x)=-12x+c．
由f（1）=0得 -12+c=0，即c=12，
∴f(x)=-12x+12．
显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件②相矛盾，
∴a≠0，因而函数f(x)=ax2-12x+c是二次函数． …（2分）
由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函数的性质可得
a＞0(-12)2-4ac≤0.
即 a＞0ac≥116＞0.…（4分）
由此可知 a＞0，c＞0，
∴ac≤(a+c2)2．
由f（1）=0，得 a+c=12，代入上式得 ac≤116．
但前面已推得 ac≥116，
∴ac=116．
由 ac=116a+c=12解得 a=c=14． …（7分）
（Ⅱ）∵a=c=14，∴f(x)=14x2-12x+14．
∴g(x)=f(x)-mx=14x2-(12+m)x+14．
该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1． …（8分）
假设存在实数m使函数g(x)=f(x)-mx=14x2-(12+m)x+14在区间[m，m+2]上有最小值-5．
①当m＜-1时，2m+1＜m，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递增的，
∴g（m）=-5，
即 14m2-(12+m)m+14=-5，
解得 m=-3或m=73．
∵73＞-1，∴m=73舍去． …（10分）
②当-1≤m＜1时，m≤2m+1＜m+1，函数g（x）在区间[m，2m+1]上是递减的，而在区间[2m+1，m+2]上是递增的，
∴g（2m+1）=-5，
即 14(2m+1)2-(12+m)(2m+1)+14=-5．
解得 m=-12-1221或m=-12+1221，均应舍去． …（12分）
③当m≥1时，2m+1≥m+2，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递减的，
∴g（m+2）=-5，
即 14(m+2)2-(12+m)(m+2)+14=-5．
解得 m=-1-22或m=-1+22，其中m=-1-22应舍去．
综上可得，当m=-3或m=-1+22时，函数g（x）=f（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5．
…（14分）
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解析
12考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ax2-12x+ca、.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
