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对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:

题文

对于函数f(x),若存在x0∈R,使得f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b-7)x+18的两个不动点分别是-3和2:
(Ⅰ)求a,b的值及f(x)的表达式;
(Ⅱ)当函数f(x)的定义域是[0,1]时,求函数f(x)的值域. 题型:未知 难度:其他题型

答案

(Ⅰ)依题意得f(-3)=-3,f(2)=2;
即9a+21-3b-a-ab=-3,4a+2b-14-a-ab=2,解得a=-3,b=5a,b=-15
∴f(x)=-3x2-2x+18
(Ⅱ)∵函数f(x)的对称轴x=-13,且图象开口向下,
所以函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,∴f(x)max=f(0)=18,f(x)min=f(1)=13
所以函数f(x)的值域为[13,18]

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解析

13

考点

据考高分专家说,试题“对于函数f(x),若存在x0∈R,使得f.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义:

一般地,如果
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:
(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像

是一条关于
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:
对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征:①有开口方向,a表示开口方向;a>0时,抛物线开口向上;a<0时,抛物线开口向下;
②有对称轴
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:

③有顶点
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:

④c表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,c)。

性质:二次函数y=ax2+bx+c,

①当a>0时,函数f(x)的图象开口向上,在(-∞,-
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:
)上是减函数,在[-
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:
,+∞)上是增函数;
②当a<0时,函数f(x)的图象开口向下,在(-∞,-
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:
)上是增函数,在[-
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:
,+∞)是减函数。

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二次函数
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:
(a,b,c是常数,a≠0)的图像:
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的,由解析式确定) 
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:
值域a>0a<0 
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:

对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:
奇偶性b=0时为偶函数,b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:

对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:

对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:

对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:

对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:
图像特点
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:

 

二次函数的解析式:

(1)一般式:
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:
(a,b,c是常数,a≠0);
(2)顶点式:若二次函数的顶点坐标为(h,k),则其解析式为
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:
 ;
(3)双根式:若相应一元二次方程的两个根为
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:
,则其解析式为
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:

二次函数在闭区间上的最值的求法:

(1)二次函数
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:
 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下,需要分
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:

对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:
三种情况讨论解决.
当a>0时,f(x)在区间[p,g]上的最大值为M,最小值为m,令
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:
 .

对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:
 

对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:


对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:


对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:

特别提醒:在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论.

(2)二次函数
对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:
在区间[m.n]上的最值问题一般地,有以下结论:

对于函数f,若存在x0∈R,使得f=x0成立,则称x0为f的不动点.已知函数f=ax2+x+18的两个不动点分别是-3和2:
 
特别提醒:max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用

(1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路:
理解题意;建立数学模型;解决题目提出的问题。
(2)应用二次函数求实际问题中的最值:
即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。

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