已知函数f=ax2-4x-1．若a=2时，求当x∈[0，3]时，函数f的值域；若a=2，当x∈时，f-f

题文

已知函数f（x）=ax²-4x-1．
（Ⅰ）若a=2时，求当x∈[0，3]时，函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若a=2，当x∈（0，1）时，f（1-m）-f（2m-1）＜0恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）若a为非负数，且函数f（x）是区间[0，3]上的单调函数，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=2x²-4x-1=2（x-1）²-3．
所以f（x）在[0，1]上单调递减；在（1，3]上单调递增．…（2分）
所以f（x）的最小值是f（1）=-3．…（3分）
又因为f（0）=-1，f（3）=5，所以f（x）的值域是[-3，5]．          …（4分）
（Ⅱ）因为a=2，所以由（Ⅰ）可知：f（x）在[0，1]上单调递减．
因为当x∈（0，1）时，f（1-m）-f（2m-1）＜0恒成立，可得
1-m＞2m-10＜1-m＜10＜2m-1＜1，…（7分） 解得 12＜m＜23．
所以m的取值范围是（12，23）．       …（8分）
（Ⅲ）因为f（x）=ax²-4x-1，
①当a=0时，f（x）=-4x-1，所以f（x）在[0 3]上单调递减．…（10分）
②当a＞0时，f（x）=a(x-2a)2-4a-1，
因为f（x）在[0 3]上的单调函数，可得 2a≤0 ，或2a≥3a＞0，解得 0＜a≤23．   …（13分）
由①、②可知，a的取值范围是[0 23]．            …（14分）

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解析

1-m＞2m-10＜1-m＜10＜2m-1＜1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2-4x-1．（Ⅰ.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。