若函数f满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f=f+f成立，则称函数f具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f不

题文

若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x₀不存在，则称函数f（x）不具有性质M．
（Ⅰ）证明：函数f（x）=2^x具有性质M，并求出对应的x₀的值；
（Ⅱ）已知函数h（x）=lgax2+1具有性质M，求a的取值范围；
（Ⅲ）试探究形如①y=kx+b（k≠0）、②y=ax²+bx+c（a≠0）、③y=kx（k≠0）、④y=ax（a＞0且a≠1）、⑤y=log_ax（a＞0且a≠1）的函数，指出哪些函数一定具有性质M？并加以证明．题型：未知难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：f（x）=2^x代入f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）得2^x₀+1=2^x₀+2得：…（2分）
即2^x₀=2，解得x₀=1，
∴函数f（x）=2^x具有性质M．…（4分）
（Ⅱ）h（x）的定义域为R，且可得a＞0，
∵h（x）具有性质M，
∴存在x₀，使得h（x₀+1）=h（x₀）+h（1），代入得lgax20+2=lgax0+1+lga2
化为2（x20+1）=a(x0+1)2+a
整理得：（a-2）x20+2ax₀+2a-2=0有实根…（5分）
①若a=2，得x₀=-12，满足题意
②若a≠2，则要使（a-2）x20+2ax₀+2a-2=0有实根有实根，只需满足△≥0，
即a²-6a+4≤0，解得a∈[3-5，3+5]
∴a∈[3-5，2）∪（2，3+5]…（8分）
综合①②，可得a∈[3-5，3+5]…（9分）
（Ⅲ）函数y=f（x）恒具有性质M，即关于x的方程f（x+1）=f（x）+f（1）（*）恒有解．
①若f（x）=kx+b，则方程（*）可化为k（x+1）+b=kx+b+k+b，
整理，得0×x+b=0，
当b≠0时，关于x的方程（*）无解
∴f（x）=kx+b不恒具备性质M；
②若f（x）=ax²+bx+c（a≠0），则方程（*）可化为2ax+a+b=0，解得x--a+b2a．
∴函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）一定具备性质M．
③若f（x）=kx（k≠0），则方程（*）可化为x²+x+1无解
∴f（x）=kx（k≠0）不具备性质M；
④若f（x）=a^x，则方程（*）可化为a^x+1=a^x+a，化简得（a-1）a^x=a即a^x=aa-1
当0＜a＜1时，方程（*）无解
∴f（x）=kx（k≠0），不恒具备性质M；
⑤若f（x）=log_ax，则方程（*）可化为log_a（x+1）=log_ax，化简得x+1=x
显然方程无解；
∴f（x）=kx（k≠0），不具备性质M；
综上所述，只有函数f（x）=ax2+bx+c一定具备性质M．…（14分）

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解析

ax20+2

考点

据考高分专家说，试题“若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点