已知函数f=ax2-x+2a-1设f在区间[1，2]的最小值为g，求g的表达式；设h=f(x)x，若函数h（

题文

已知函数f（x）=ax²-x+2a-1（a＞0）
（Ⅰ）设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（Ⅱ）设h（x）=f(x)x，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．题型：未知难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由于a＞0，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-12a)2+2a-14a-1
对称轴为x=12a，
当0＜12a＜1即a＞12时，f（x）在[1，2]上为增函数，g（a）=f（1）=3a-2；
当1≤12a≤2即14≤a≤12时，g(a)=f(12a)=2a-14a-1；
当12a＞2即0＜a＜14时，f（x）在[1，2]上为减函数，g（a）=f（2）=6a-3．
综上可得g(a)=6a-3，0＜a＜142a-14a-1，14≤a≤123a-2，a＞12．
（Ⅱ）h(x)=ax+2a-1x-1，在区间[1，2]上任取x₁，x₂，x₁＜x₂，
则h(x2)-h(x1)=(ax2+2a-1x2-1)-(ax1+2a-1x1-1)=(x2-x1)(a-2a-1x1x2)=x2-x1x1x2[ax1x2-(2a-1)]（*）
∵h（x）在[1，2]上为增函数，∴h（x₂）-h（x₁）＞0
∴（*）可转化为ax₁x₂-（2a-1）＞0对任意x₁，x₂，x₁＜x₂，在区间[1，2]上都成立．
即ax₁x₂＞2a-1 （12分）
因为a＞0，所以x1x2＞2a-1a，由1＜x₁x₂＜4得2a-1a≤1，解得0＜a≤1；
所以实数a的取值范围是0＜a≤1．
（2）另h(x)=ax+2a-1x-1=a(x+2a-1ax)-1
由于对勾函数m(x)=x+bx(b＞0)在区间(0，b]上递减，在区间[b，+∞)上递增；
∴当a＞12时，2a-1a＞0，由题应有2a-1a≤1，
∴12＜a≤1．
当0＜a≤12时，h(x)=ax+2a-1x-1为增函数满足条件．
故实数a的取值范围是0＜a≤1

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解析

12a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2-x+2a-1（.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点