设定义在区间[x1，x2]上的函数y=f的图象为C，点A、B的坐标分别为），）且M）为图象C上的任意一点，

题文

设定义在区间[x₁，x₂]上的函数y=f（x）的图象为C，点A、B的坐标分别为（x₁，f（x₁）），（x₂f（x₂））且M（x，f（x））为图象C上的任意一点，O为坐标原点，当实数λ满足x=λx₁+（1-λ）x₂时，记向量ON=λOA+(1-λ)OB．若|MN|≤k恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似，其中k是一个确定的正数．
（Ⅰ）求证：A、B、N三点共线
（Ⅱ）设函数f（x）=x²在区间[0，1]上可的标准k下线性近似，求k的取值范围；
（Ⅲ）求证：函数g（x）=lnx在区间（e^m，e^m+1）（m∈R）上可在标准k=18下线性近似．
（参考数据：e=2.718，ln（e-1）=0.541）题型：未知难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由 ON=λOA+(1-λ)OB得 BN=λBA，∴A、B、N三点共线．
（Ⅱ）由x=λx₁+（1-λ）x₂，ON=λOA+(1-λ)OB，得 N 和M的横坐标相同．
对于区间[0，1]上的函数f（x）=x²，A（0，0）、B（1，1），则有 |MN|=x-x²=-(x-12)2-14，
∴|MN|∈[0，14]．
再由|MN|≤k恒成立，可得 k≥14．故k的取值范围为[14，+∞）．
（Ⅲ）对定义在区间（e^m，e^m+1）（m∈R）上的函数函数g（x）=lnx，A （e^m，m）、B（e^m+1，m+1）．
AB的方程为y-m=1em+1-em（x-e^m ），其中x∈[e^m，e^m+1]．
令h（x）=lnx-m-1em+1-em（x-e^m ），则h′（x）=1x-1em+1-em．
由于导数h′（x）在x=e^m+1-e^m 处的符号左正右负，故函数h（x）在x=e^m+1-e^m 处取得极大值，
再由x∈[e^m，e^m+1]时，极大值仅此一个，故此极大值是函数h（x）的最大值．
故函数h（x）的最大值为h（e^m+1-e^m）=ln（e-1）-e-2e-1≈0.123＜18，
即|MN|=h（x）当x∈[e^m，e^m+1]时，有|MN|≤18成立，故要证的结论成立．

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解析

考点

据考高分专家说，试题“设定义在区间[x1，x2]上的函数y=f.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点