设f=x2+bx+c．若|x|≥2时，f≥0，且f在区间（2，3]上的最大值为1，求b2+c2的最大值和最小值．

题文

设f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）．若|x|≥2时，f（x）≥0，且f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，求b²+c²的最大值和最小值．题型：未知难度：其他题型

答案

由题意函数图象为开口向上的抛物线，且f（x）在区间（2，3]上的最大值只能在闭端点取得，
故有f（2）≤f（3）=1，从而b≥-5且c=-3b-8．
若f（x）=0有实根，则△=b²-4c=b²+12b+32≥0，
∵|x|≥2时，f（x）≥0，
∴在区间[-2，2]有f(-2)≥0f(2)≥0-2≤b2≤2即4-2b+c≥04+2b+c≥0-4≤b≤4消去c，解出b≤-45b≤-4-4≤b≤4，
即b=-4，这时c=4，且△=0．
若f（x）=0无实根，则△=b²-4c＜0，将c=-3b-8代入解得-8＜b＜-4．
综上-5≤b≤-4．
所以b²+c²=b²+（-3b-8）²=10b²+48b+64=10(b+125)2+325，
∴b²+c²在[-5，-4]上单调递减
故(b2+c2)min=32，(b2+c2)max=74．

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解析

f(-2)≥0f(2)≥0-2≤b2≤2

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点