已知二次函数f=ax2+bx+c和“伪二次函数”g=ax2+bx+clnx，证明：只要a＜0，无论b取何值，函数

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和“伪二次函数”g（x）=ax²+bx+clnx（a、b、c∈R，abc≠0），
（I）证明：只要a＜0，无论b取何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（Ⅱ）在二次函数f（x）=ax²+bx+c图象上任意取不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB中点的横坐标为x₀，记直线AB的斜率为k，（i）求证：k=f′（x₀）；（ii）对于“伪二次函数”g（x）=ax²+bx+clnx，是否有（i）同样的性质？证明你的结论．题型：未知难度：其他题型

答案

（I）函数的定义域为（0，+∞），要使函数g（x）在定义域内总为增函数，
则g′(x)=2ax+b+cx=2ax2+bx+cx＞0恒成立，①--------（1分）
当x＞0时恒成立，则2ax²+bx+c＞0 ②
因为a＜0，由二次函数的性质，②不可能恒成立．
则函数g（x）不可能总为增函数．--------（4分）
（II）（i）k=f(x2)-f(x1)x2-x1=a(x22-x21)+b(x2-x1)x2-x1=a（x₂+x₁）+b=2ax₀+b，--------（6分）
由f'（x）=2ax+b，所以f'（x₀）=2ax₀+b，…..（7分）
则k=f′（x₀）．--------（7分）
（ii）不妨设x₂＞x₁，对于“伪二次函数”：g（x）=ax²+bx+clnx，
k=g(x2)-g(x1)x2-x1=a(x22-x21)+b(x2-x1)-cln⁡x2x1x2-x1=2ax0+b+clnx2x1x2-x1，③--------（9分）
由（ⅰ）中①知g′(x0)=2ax0+b+cx0，
如果有（ⅰ）的性质，则g'（x₀）=k，④，
比较③④两式得clnx2x1x2-x1=cx0，c≠0，
即：lnx2x1x2-x1=1x0=x1+x22--------（12分）
不妨令t=x2x1，t＞1，则lntt-1=2t+1，即lnt=2t-2t+1⑤，
设s(t)=lnt-2t-2t+1，则s′(t)=1t-2(t+1)-(2t-2)(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2＞0，
∴s（t）在（1，+∞）上递增，∴s（t）＞s（1）=0．
∴⑤式不可能成立，④式不可能成立，即g'（x₀）≠k．--------（14分）
∴“伪二次函数”g（x）=ax²+bx+clnx，不具有（ⅰ）的性质．--------（15分）

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解析

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点