已知二次函数f=x2-ax+a同时满足：①不等式f≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f＞f（x

题文

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）在各项均不为零的数列{c_n}中，若ci•ci+1＜0，则称ci，ci+1为这个数列{c_n}一对变号项．令cn=1-aan（n为正整数），求数列{c_n}的变号项的对数．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴△=a²-4a=0Þa=0或a=4，
当a=4时，函数f（x）=x²-4x+4在（0，2）上递减，
故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
当a=0时，函数f（x）=x²在（0，+∞）上递增，
故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
综上：a=4，f（x）=x²-4x+4．
（2）由（1）可知：Sn=n²-4n+4．当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n²-4n+4）-[（n-1）2-4（n-1）+4]=2n-5，
∴an=1n=12n-5n≥2
（3）法一：由题设cn=-3n=11-42n-5n≥2，
∵当n≥2时，cn+1-cn=42n-5-42n-3=8(2n-5)(2n-3)，
∴当n≥3时，数列{cn}递增，∵c3=-3＜0，又由cn=1-42n-5≥0，得n≥5，
可知c4•c5＜0，即n≥3时，有且只有一对变号项，
又∵c1=-3，c2=5，c3=-3，即c1•c2＜0，c2•c3＜0，∴此处有2对变号项．
综上可得：数列{cn}的变号项有3对．
法二：当i≥2时，ci=1-42i-5=2i-92i-5，
∵ci•ci+1＜0，∴2i-92i-5•2i-72i-3＜0，
∴32＜i＜52或72＜i＜92，∵i≥2，i∈N*，∴i=2或4，
即c2•c3＜0，c4•c5＜0，此处有2对变号项，
又∵c1=-3，c2=5，即c1•c2＜0，此处有一对变号项，
综上可得：数列{cn}的共有3对变号项．

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解析

1n=12n-5n≥2

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点