己知二次函数y=f的图象过点，且不等式f＜0的解集是．求函数f的解析式；设g=x3-x

题文

己知二次函数y=f（x） 的图象过点（1，-4），且不等式f（x）＜0的解集是（O，5）．
（I ）求函数f（x）的解析式；
（II）设g（x）=x³-（4k-10）x+5，若函数h（x）=2f（x）+g（x）在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减，求y=h（x）在[-3，1]上的最大值和最小值.. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由已知y=f （x）是二次函数，且f （x）＜0的解集是（0，5），
可得f （x）=0的两根为0，5，
于是设二次函数f （x）=ax（x-5），
代入点（1，-4），得-4=a×1×（1-5），解得a=1，
∴f （x）=x（x-5）． …（4分）
（Ⅱ）h（x）=2f （x）+g（x）=2x（x-5）+x³-（4k-10）x+5=x³+2x²-4kx+5，
于是h′（x）=3x²+4x-4k，
∵h（x）在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减，
∴x=-2是h（x）的极大值点，
∴h′（2）=3×（-2）²+4×（-2）-4k=0，解得k=1．  …（6分）
∴h（x）=x³+2x²-4x+5，进而得h′（x）=3x²+4x-4．
令h′（x）=3x²+4x-4=0，得x=-2，或x=23．
由下表：
x（-3，-2）-2（-2，23）23（23，1）h′（x）+0-0+h（x）↗极大↘极小↗可知：h（-2）=（-2）³+2×（-2）²-4×（-2）+5=13，h（1）=1³+2×1²-4×1+5=4，
h（-3）=（-3）³+2×（-3）²-4×（-3）+5=8，h（23）=（23）³+2×（23）²-4×23+5=9527，
∴h（x）的最大值为13，最小值为9527．…（12分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“己知二次函数y=f（x）的图象过点（1，.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。