已知二次函数f=ax2+bx的图象过点，且f′=2n，n∈N*．若数列{an} 满足1an+1=f′(1an)，且a1=4，求数

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），且f′（0）=2n，n∈N^*．
（1）若数列{a_n} 满足1an+1=f′(1an)，且a₁=4，求数列{a_n} 的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：b₁=1，bnbn+1=12an+1，当n≥3，n∈N^*时，求证：①b2n＜b2n+1＜b2n-1(n∈N*)；②b1+b2+b3+…bn＞2n+1-1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）求导函数可得f′（x）=2ax+b，由题意知b=2n，16n²a-4nb=0
∴a=12，b=2n，则f（x）=12x²+2nx，n∈N^*．             （2分）
∵数列{a_n} 满足1an+1=f′(1an)，f′（x）=x+2n，
∵1an+1=1an+2n，∴1an+1-1an=2n，
∵a₁=4，1an+1-14=2+4+…+2(n-1)=n2-n
∴1an=(n-12)2
∴an=4(2n-1)2   （6分）
（2）证明：①由b₁=1得b2=13，由bnbn+1=12an+1=12n+1得bnbn+1bn+2bn+1=2n+32n+1
即bn+2bn=2n+12n+3，∴b2n+1b2n-1=4n-14n+1＜1，∴b_2n+1＜b_2n-1
由bn+2bn=2n+12n+3及b₁=1，b2=13可得：b2n=13•57•…•4n-34n-1，b2n+1=35•79•…•4n-14n+1
∵4n-34n-1＜4n-14n+1，∴b_2n＜b_2n+1（10分）
②由bnbn+1=12an+1=12n+1得1bnbn+1=2n+1，1bn+2bn+1=2n+3
相减得bn+1=12(1bn+2-1bn)
由①知：b_n≠b_n+1
所以b1+b2+b3+…bn=1+12(1b3-1b1+1b4-1b2+…1bn+1-1bn-1)=1+12(-1b1-1b2+1bn+1+1bn)=-1+12(1bn+1+1bn)＞-1+1bn+11bn=2n+1-1（14分）

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx的图象.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。