设f=x2+bx+c，方程f-x=0的两个实根为x1、x2且满足x1＞0，x2-x1＞1．求证：b2＞2；0

题文

设f（x）=x²+bx+c （b，c为常数），方程f（x）-x=0的两个实根为x₁、x₂且满足x₁＞0，x₂-x₁＞1．
（1）求证：b²＞2（b+2c）；
（2）0＜t＜x₁，比较f（t）与x₁的大小；
（3）若当x∈[-1，1]时，对任意的x都有|f（x）|≤1，求证：|1+b|≤2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：方程f（x）-x=0的两根为x₁、x₂，
因而有（x₂-x₁）²=b²-2b+1-4c，又x₂-x₁＞1，
∴b²-2b+1-4c＞1，∴b²＞2（b+2c）．（5分）
（2）∵x₁是方程f（x）-x=0的根，∴x₁=f（x₁），
∴f（t）-x₁=f（t）-f（x₁）=（t-x₁）（t+x₁+b）
=（t-x₁）（t+1-x₁）．
∵x₁+x₂=1-b，0＜t＜x₁
∴t-x₁＜0，又x₂-x₁＞1，即x₁+1-x₂＜0，
∴t+1-x₂＜x₁+1-x₂＜0
故f（t）-x₁＞0，∴f（t）＞x₁（10分）
（3）证明：∵x∈[-1，1]时，恒有|f（x）|≤1，
∴f（0）=|c|≤1，
|f（1）|=|1+b+c|≤1，
从而|1+b|=|1+b+c-c|≤|1+b+c|+|-c|=|1+b+c|+|c|≤1+1=2．（14分）

点击查看二次函数的性质及应用知识点讲解,巩固学习

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=x2+bx+c（b，c为常数.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。