设函数f=ax2-bx+1，F(x)=f(x)，(x＞0)-f(x)，(x＜0)若f=0且对任意实数均有f≥0恒成立，求F

题文

设函数f（x）=ax²-bx+1（a，b∈R），F(x)=f(x)，(x＞0)-f(x)，(x＜0)
（Ⅰ）若f（1）=0且对任意实数均有f（x）≥0恒成立，求F（x）表达式；
（Ⅱ）在（1）在条件下，当x∈[-3，3]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，证明F（m）＞-F（n）．题型：未知难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵f（1）=0，∴b=a+1，（1分）
由于f（x）≥0恒成立，即ax²-bx+1≥0恒成立，
当a=0时，b=1，此时，f（x）=-x+1与f（x）≥0恒成立矛盾．
当a≠0时，由△=（-b）²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，得a=1，b=2…（3分）
从而f（x）=x²-2x+1，
∴F(x)=(x-1)2，(x＞0)-(x-1)2，(x＜0)（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x²-2x+1
∴g（x）=f（x）-kx=x²-（2+k）x+1，其对称为x=k+22
由g（x）在x∈[-3，3]上是单调函数知：k+22≥3或k+22≤-3，
解得k≥4或k≤-8（8分）
证明：（Ⅲ）∵f（x）是偶函数，
∴由f（-x）=f（x）得b=0，
故f（x）=ax²+1，F(x)=ax2+1，x＞0-(ax2+1)，x＜0
∵a＞0，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，（9分）
对于F（x），当x＞0时，-x＜0，F（-x）=-f（-x）=-f（x）=-F（x）
当x＜0时，-x＞0，F（-x）=f（-x）=f（x）=-F（x）
∴F（x）是奇函数，且F（x）在[0，+∞）上为增函数．（11分）
∵mn＜0，
∴m，n异号，
（1）当m＞0，n＜0时，由m+n＞0得m＞-n＞0，
∴F（m）＞F（-n）=-F（n）
（2）当m＜0，n＞0时，由m+n＞0得n＞-m＞0，
∴F（n）＞F（-m）=-F（m）
即F（m）＞-F（n）
综上可知F（m）＞-F（n）（14分）

点击查看二次函数的性质及应用知识点讲解,巩固学习

解析

(x-1)2，(x＞0)-(x-1)2，(x＜0)

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=ax2-bx+1（a，b.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点