设函数f=ax2-bx+1，F(x)=f(x)，x＞0-f(x)，x＜0如果f=0且对任意实数x均有f≥0，求F的解

题文

设函数f（x）=ax²-bx+1（a，b∈R），F(x)=f(x)，x＞0-f(x)，x＜0
（1）如果f（1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0，求F（x）的解析式；
（2）在（1）在条件下，若g（x）=f（x）-kx在区间[-3，3]是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）已知a＞0且f（x）为偶函数，如果m+n＞0，求证：F（m）+F（n）＞0．题型：未知难度：其他题型

答案

解（1）∵f（1）=0，
∴b=a+1（1分）
∵对任意实数x均有f（x）≥0恒成立，
即对任意实数x均有ax²-bx+1≥0恒成立（2分）
当a=0时，b=1，这时，f（x）=-x+1，它不满足f（x）≥0恒成立（3分）
当a≠0时，则a＞0且△=（-b）²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0
∴a=1，b=2（4分）
从而f（x）=x²-2x+1，
∴F(x)=(x-1)2，x＞0-(x-1)2，x＜0（5分）
（2）由（1）知f（x）=x²-2x+1
∴g（x）=f（x）-kx=x²-（2+k）x+1=(x-k+22)2-14k2-k（6分）
∵g（x）=f（x）-kx在区间[-3，3]是单调函数
∴k+22≤3或k+22≥3，
即k≤-8或k≥4
∴k的取值范围是（-∞，-8]∪[4，+∞）（7分）
（3）∵f（x）是偶函数，
∴b=0（8分）
故f（x）=ax²+1，
∴F(x)=ax2+1，x＞0-ax2-1，x＜0 （9分）
∵a＞0，
∴当x＞0时f（x）＞0
∵m+n＞0，
∴m，n中至少有一个正数，即m，n都是正数或一个正数，一个负数
若m，n都是正数，则F（m）＞0，F（n）＞0，所以F（m）+F（n）＞0（10分）
若m，n一个正数，一个负数，不妨设m＞，n＜0，又m+n＞0
则F（m）+F（n）=am²+1-（an²+1）=a（m+n）（m-n）＞0（11分）
综上可得，F（m）+F（n）＞0．（12分）

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解析

(x-1)2，x＞0-(x-1)2，x＜0

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=ax2-bx+1（a，b.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点