已知函数f=ax2+bx+1．若函数f的图象过点，且方程f=0有且只有一个根，求f的表

题文

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象过点（-2，1），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[-1，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）为偶函数，且f(x)，x＞0-f(x)，x＜0F（x）=求证：当mn＜0，m+n＞0，a＞0时，F（m）+F（n）＞0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为f（-2）=1，即4a-2b+1=1，所以b=2a．…（1分）
因为方程f（x）=0有且只有一个根，即△=b²-4a=0．
所以4a²-4a=0．即a=1，b=2．…（2分）
所以f（x）=（x+1）²．…（3分）
（Ⅱ）因为g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²-（k-2）x+1=（x-k-22）²+1-(k-2)24．    …（5分）
所以当 k-22≥2或k-22≤-1时，
即k≥6或k≤0时，g（x）是单调函数．  …（7分）
（Ⅲ）因为f（x）为偶函数，所以b=0．
所以f（x）=ax²+1．
所以F（x）=ax2+1，x＞0-ax2-1，x＜0    …（8分）
因为mx＜0，不妨设m＞0，则n＜0．
又因为m+n＞0，所以m＞-n＞0．
所以|m|＞|-n|．…（9分）
此时F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²）＞0．
所以F（m）+F（n）＞0．         …（10分）

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解析

k-22

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。