题文
对函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若存在x1，x2∈R且x1＜x2，使得1f(x)=1a(Ax-x1+Bx-x2)（其中A，B为常数），则称f（x））=ax2+bx+c（a≠0）为“可分解函数”．（1）试判断f（x）=x2+3x+2是否为“可分解函数”，若是，求出A，B的值；若不是，说明理由；
（2）用反证法证明：f（x）=x2+x+1不是“可分解函数”；
（3）若f（x）=ax2+ax+4（a≠0），是“可分解函数”，则求a的取值范围，并写出A，B关于a的相应的表达式． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵f（x）=x2+3x+2∴1f(x)=1x2+3x+2=1(x+2)(x+1)=-1x-(-2)+1x-(-1)
故函数f（x）=x2+3x+2为“可分解函数”，且A=-1，B=1
（2）假设f（x）=x2+x+1是“可分解函数”，即存在x1，x2∈R且x1＜x2，
使得1f(x)=1a(Ax-x1+Bx-x2)=1x2+x+1
即1a((A+B)x-(Ax2+Bx1)x2-(x1+x2)x+x1•x2）=1x2+x+1，
即A+B=0Ax2+Bx1=-1x1+x2=-1x1•x2=1，
由于方程组x1+x2=-1x1•x2=1无解，
所以假设不真，
故原命题成立．
即f（x）=x2+x+1不是“可分解函数”；
（3）因为f（x）=ax2+ax+4（a≠0），是“可分解函数”，
所以存在x1，x2∈R且x1＜x2，
使得1f(x)=1a(Ax-x1+Bx-x2)=1a((A+B)x-(Ax2+Bx1)x2-(x1+x2)x+x1•x2）=1a•1x2+x+4a，
所以x2+x+4a=0有两个不同的实根，所以△=1-16a＞0
解得：a＞16或a＜0
此时方程x2+x+4a=0有两个不同的实根，
且x1=-1-1-16a2，x2=-1+1-16a2
代入A+B=0Ax2+Bx1=-1解得
A=-aa-16B=aa-16
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解析
1f(x)考点
据考高分专家说，试题“对函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
