题文
若当x∈[12，2]时，函数f（x）=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f（x）在[12，2]上的最大值是______． 题型：未知 难度：其他题型答案
∵x∈[12，2]，g（x）=x+x+1x2≥3（当且仅当x=1时取“=”），∵数f（x）=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，
∴f（x）=x2+px+q在x=1处取到最小值3，而x∈[12，2]，
∴-p2=1，p=-2．
∴f（1）=12-2×1+q=3，
∴q=4．
∴f（x）=x2-2x+4，
∵f（x）=x2-2x+4在[12，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且2到x=1的距离大于12到x=1的距离，二次函数开口向上，
∴x∈[12，2]，f（x）max=f（2）=22-2×2+4=4．
故答案为：4．
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解析
12考点
据考高分专家说，试题“若当x∈[12，2]时，函数f（x）=x.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/Fl1KfkZWMK0Vky4idjNtzd6IBjXG.gif "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/Fmj0LUbDemJyMfGMYR1N6Fv2vlcl.gif "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FkXvvFT3bitHP-8C7aR6_hAruoDy.png "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
；
③有顶点![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FjKS7oInmVgX6sLTiPUr5w3WQ-cq.png "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FvhJGqWmoQ6QPNLh_abG2m5FS9Uu.gif "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FqSHS-abSRFK0K_IfX52Mn3x9C57.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
值域a>0a<0
![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FuHB_8MeSobWfS66z8gmVyK6vISs.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FmdYiDisM0Fz2JIRAC8dELN3Pr3A.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/Fq0nBqEsPKk_iKT9ZILv_5j4PGGz.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FuNtcuQW9_HsB5cko358X-hX2jV0.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/Ftz5YTTKKeK4-Jn6cNwBcEXnz5h0.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FvUqMEaMDJmS3CHTUu_Slh44ikAz.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/Fsmi4qKhw-yiiX9zoTZoHZ7gU-OW.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
图像特点
![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FtRpkkfr-xe0QMySNDBHGGqEasVh.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FjAoYFhcoJ1vBk_oldASGBA3PNRm.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FkB_xjGZkQ6n4JqLzyVrV37dEayB.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
,则其解析式为![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FplGW9o2vTxXWj-XaRdhghq6aNW6.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FjnDwMoNjBr7yxMv9U_-jlNDwHxd.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______"){kind=small}
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FkK1NCJkLe_FL44jbmSgv5-GAswd.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______"){kind=small}
![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FtCEXfASxJsja7I8TVtLwNT8XFRX.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FuS9UkVc94u0tf8VCqZMpj2_WR4_.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
．
①![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/Fh5eGFr7wYDwUhDGWJ0uaKq95Zuu.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
②![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FpPDvQvkWRACibSaL3kZL6oT-iFD.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
③![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FlE-hpF2SjRXyc21UceRggmnQHhE.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
④![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FkkzBLIH5nxV2QsTtkSrH8EWb2mX.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FifuheddP6bHlJMrcI920HEiiX8p.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：![若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220107/FltLphg_0rz0rOUCX0mKn1l02GNm.jpg "若当x∈[12，2]时，函数f=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f在[12，2]上的最大值是______")
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
