定义：若函数f对于其定义域内的某一数x0，有f=x0，则称x0是f的一个不动点．已知函数f=ax2+x+b-1．（

题文

定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x₀，有 f （x₀）=x₀，则称x₀是f （x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1 （a≠0）．
（Ⅰ）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（Ⅱ）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+a5a2-4a+1对称，求b的最小值．题型：未知难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当a=1，b=-2时，有f （x）=x²-x-3，
令x²-x-3=x，化简得：x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，或x₂=3
故所求的不动点为-1或3．（4分）
（Ⅱ）令ax²+（b+1）x+b-1=x，则ax²+bx+b-1=0①
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△=b²-4a（b-1）＞0，
即b²-4ab+4a＞0恒成立，（6分）
整理得b²-4ab+4a=（b-2a）²+4a-4a²＞0，
故4a-4a²＞0，即0＜a＜1（8分）
（Ⅲ）设A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）（x₁≠x₂），则k_AB=1，∴k=-1，
所以y=-x+a5a2-4a+1，（9分）
又AB的中点在该直线上，所以x1+x22=-x1+x22+a5a2-4a+1，
∴x₁+x₂=a5a2-4a+1，
而x₁、x₂应是方程①的两个根，所以x₁+x₂=-ba，即-ba=a5a2-4a+1，
∴b=-a25a2-4a+1（12分）
=-1(1a)2-4(1a)+5=1(1a-2)2+1
∴当a=12∈（0，1）时，b_min=-1．（14分）

点击查看二次函数的性质及应用知识点讲解,巩固学习

解析

a5a2-4a+1

考点

据考高分专家说，试题“定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点