题文
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，a，b，c为实数，且当|x|≤1时，恒有|f（x）|≤1；（I） 证明：|c|≤1；
（II）证明：|a|≤2；
（III）若g（x）=λax+b（λ＞1），求证：当|x|≤1时，|g（x）|≤2λ． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）∵当|x|≤1时，恒有|f（x）|≤1；
∴|f（0）|≤1，
∴c≤1
（II）∵f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，
∴2a=f（1）+f（-1）-2f（0）
又∵|x|≤1时，|f（x）|≤1，
∴|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，
|f（0）|≤1，
∴|2a|=|f（1）+f（-1）-2f（0）|≤|f（1）|+|f（-1）|+2|f（0）|≤4，
∴|a|≤2．
（III）∵f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c
由f(0)=cf(1)=a+b+cf(-1)=a-b+c得a=12[f(1)+f(-1)]-f(0)b=12[f(1)-f(-1)]c=f(0)
∴g(1)=λa+b=λ•12[f(1)+f(-1)]-λf(0)+12[f(1)-f(-1)]=λ+12f(1)+λ-12f(-1)-λf(0)g(-1)=-λa+b=-λ•12[f(1)+f(-1)]+λf(0)+12[f(1)-f(-1)]
=1-λ2f(1)-1+λ2f(-1)+λf(0)，
∵λ≥1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，|f（0）|≤1，
∴|g(1)|=|λ+12f(1)+λ-12f(-1)-λf(0)|≤λ+12+λ-12+λ=2λ，
∴|g(-1)|=|λ-12f(1)-λ+12f(-1)+λf(0)|≤λ-12+λ+12+λ=2λ．
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解析
f(0)=cf(1)=a+b+cf(-1)=a-b+c考点
据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
