已知函数f=ax2+bx+c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z．若b＞2a，且f的最大值为2，最小值为-4，求f的最小值；（

题文

已知函数f（x）=ax²+bx+c，其中a∈N^*，b∈N，c∈Z．
（1）若b＞2a，且f（sinα）（α∈R）的最大值为2，最小值为-4，求f（x）的最小值；
（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x²+1），且存在x₀使得f（x₀）＜2（x₀²+1）成立，求c的值．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）据题意x∈[-1，1]时，f（x）_max=2，f（x）_min=-4，（1分）
f(x)=a(x+b2a)2+c-b24a，
∵b＞2a＞0，∴-b2a＜-1，
∴f（x）在[-1，1]上递增，
∴f（x）_min=f（-1），f（x）_max=f（1），（3分）
∴a+b+c=2a-b+c=-4，∴b=3，a+c=-1，（5分）
∵b＞2a，∴a＜32，又a∈N^*，∴a=1，∴c=-2，（7分）
∴f(x)=x2+3x-2=(x+32)2-174，
∴f(x)min=-174．（8分）
（2）由已知得，4≤f（1）≤4，∴f（1）=4，即a+b+c=4①，（9分）
∵f（x）≥4x恒成立，∴ax²+（b-4）x+c≥0恒成立，
∴△=（b-4）²-4ac≤0②，（11分）
由①得b-4=-（a+c），代入②得（a-c）²≤0，∴a=c，（13分）
由f（x）≤2（x²+1）得：（2-a）x²-bx+2-c≥0恒成立，
若a=2，则b=0，c=2，∴f（x）=2（x²+1），
不存在x₀使f（x₀）＜2（x₀²+1），与题意矛盾，（15分）
∴2-a＞0，∴a＜2，又a∈N^*，
∴a=1，c=1．（16分）

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解析

b2a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+bx+c，其中.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点