已知二次函数f=x2+ax+m+1，关于x的不等式f＜x+1-m2的解集为，其中m为非零常数．设g(x)=f(x)x-1．

题文

已知二次函数f（x）=x²+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m²的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设g(x)=f(x)x-1．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在极值点，并求出极值点．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）∵关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m²的解集为（m，m+1），
即不等式x²+（a+1-2m）x+m²+m＜0的解集为（m，m+1），
∴x²+（a+1-2m）x+m²+m=（x-m）（x-m-1）．
∴x²+（a+1-2m）x+m²+m=x²-（2m+1）x+m（m+1）．
∴a+1-2m=-（2m+1）．
∴a=-2．
（2）由（1）得g(x)=f(x)x-1=x2-2x+m+1x-1=(x-1)+mx-1．
∴φ（x）=g（x）-kln（x-1）=(x-1)+mx-1-kln（x-1）的定义域为（1，+∞）．
∴φ'（x）=1-m(x-1)2-kx-1=x2-(2+k)x+k-m+1(x-1)2．
方程x²-（2+k）x+k-m+1=0（*）的判别式△=（2+k）²-4（k-m+1）=k²+4m．
①当m＞0时，△＞0，
方程（*）的两个实根为x1=2+k-k2+4m2＜1，x2=2+k+k2+4m2＞1，
则x∈（1，x₂）时，φ'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）时，φ'（x）＞0．
∴函数φ（x）在（1，x₂）上单调递减，在（x₂，+∞）上单调递增．
∴函数φ（x）有极小值点x₂．
②当m＜0时，由△＞0，得k＜-2-m或k＞2-m，
若k＜-2-m，则x1=2+k-k2+4m2＜1，x2=2+k+k2+4m2＜1，
故x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，
∴函数φ（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴函数φ（x）没有极值点．
若k＞2-m时，x1=2+k-k2+4m2＞1，x2=2+k+k2+4m2＞1，
则x∈（1，x₁）时，φ'（x）＞0；x∈（x₁，x₂）时，φ'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）时，φ'（x）＞0．
∴函数φ（x）在（1，x₁）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减，在（x₂，+∞）上单调递增．
∴函数φ（x）有极小值点x₂，有极大值点x₁．
综上所述，当m＞0时，k取任意实数，函数φ（x）有极小值点x₂；
当m＜0时，k＞2-m，函数φ（x）有极小值点x₂，有极大值点x₁．
（其中x1=2+k-k2+4m2，x2=2+k+k2+4m2）．

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解析

f(x)x-1

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点