定义在R1的函数f满足：如果对任意x1，x2∈R，都有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]，则称f是R1凹函数．已知二次函数f=

题文

定义在R1的函数f（x）满足：如果对任意x₁，x₂∈R，都有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]，则称f（x）是R1凹函数．已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，且a≠0）．
（1）求证：当a＞0时，函数f（x）的凹函数；
（2）如果x∈[0，1]时，|f（x）|≤1，试求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵二次函数f（x）=ax²+x
∴任取x₁，x₂∈k，则f(x1+x22)-12[f(x1)+f(x2)]=a（x1+x22）²+x1+x22-12（ax21+x1+ax22+x2）=-12a(x1-x2)2
∵a＞0，(x1-x2)2≥0，∴12a(x1-x2)2≥0
∴f(x1+x22)-12[f(x1)+f(x2)]≤0
∴f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]
∴当a＞0时，函数f（x）的凹函数；
（2）由-1≤f（x）=ax²+x≤1，则有ax²≥-x-1且ax²≤-x+1．
（i）若x=0时，则a∈k恒成立，
（ii）若x∈（0，1]时，有 a≥-1x-1x2且a≤-1x+1x2
∴a≥-1x-1x2=-（1x+12）²+14且a≤-1x+1x2=（1x-12）²-14，
∵0＜x≤1，∴1x≥1．
∴当1x=1时，-（1x+12）²+14的最4值为-（1+12）²+14=-2，（1x-12）²-14的最小值为（1-12）²-14=0
∴0≥a≥-2．
综（i）（ii）知，0≥a≥-2

点击查看二次函数的性质及应用知识点讲解,巩固学习

解析

x1+x22

考点

据考高分专家说，试题“定义在R1的函数f（x）满足：如果对任意.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。