已知函数f=ax2+bx+1，设F=f(x)(x＞0)-f(x)(x＜0)令a=1，b=2，当x∈[-2，2]时，g=f

题文

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），设F（x）=f(x) (x＞0)-f(x) (x＜0)
（1）令a=1，b=2，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．
（2）设m＞0，n＜0且m+n＞0，a＞0，b=0，求证：F（m）+F（n）＞0．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）令a=1，b=2，则F（x）=f(x) (x＞0)-f(x) (x＜0)，即F（x）=(x+1)2 ， x＞0-(x+1)2 ， x＜0．
由（1）可知f（x）=x²+2x+1，∴g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1．
由于g（x）在[-2，2]上是单调函数，可得 2-k2≥2，或 2-k2≤-2．
解得 k≤-2，或 k≥6，故实数k的取值范围为（-∞，-2]∪[6，+∞）．
（3）由题意可得，f（x）=x²+1，故有 f（-x）=f（x），F（n）=-f（n）=-f（-n），
∴F（m）+F（n）=f（m）-f（-n）．
由于 m+n＞0，所以 m＞-n＞0．
而f（m）在大于0区间是增函数，所以 f（m）-f（-n）＞0，
即F（m）+F（n）＞0．

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解析

f(x) (x＞0)-f(x) (x＜0)

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点