已知x1，x2是函数f=ax2+bx+1的两个零点，函数f的最小值为-a，记P={x|f＜0，x∈R}试探求x1，

题文

已知x₁，x₂是函数f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R，a＞0）的两个零点，函数f（x）的最小值为-a，记P={x|f（x）＜0，x∈R}
（ⅰ）试探求x₁，x₂之间的等量关系（不含a，b）；
（ⅱ）当且仅当a在什么范围内，函数g（x）=f（x）+2x（x∈P）存在最小值？
（ⅲ）若x₁∈（-2，2），试确定b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得4ac-b24a=-a即b²-4ac=4a²，所以x1，2=-b±4a22a=-b±2a2a
所以|x₁-x₂|=2…5'
（2）由f（x）＜0得-b-2a2a＜x＜-b+2a2a，g（x）=ax²+（b+2）x+1，对称轴为x°=-b+22a
从而有-b-2a2a＜-b+22a＜-b+2a2a，故有a＞1…8'
（3）x1，2=-b±2a2a∈（-2，2），从而有-2＜-b-2a2a＜2，-2＜-b+2a2a＜2…10'
所以-1＜-b2a＜3或-3＜-b2a＜1从而有-3＜-b2a＜3，|b|＜6a，b²＜36a²，
因为b²=4a+4a²，所以4a+4a²＜36a²，a＞18，b²=4a+4a²＞4(18+164)=916
所以b的取值范围为(-∞，-34)∪(34，+∞)…16'

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解析

4ac-b24a

考点

据考高分专家说，试题“已知x1，x2是函数f（x）=ax2+b.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。