设f=ax2+bx+c，f在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别为M、m，集合A={x|f≤x}，若A=[1

题文

设f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（x）在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别为M、m，集合A={x|f（x）≤x}，
（1）若A=[1，2]，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若M+m≠8a+2c，求证：|ba|＜4；
（3）若A=2，a∈[2ⁿ，+∞）（n∈N₊），M-m的最小值记为g（n），估算使g（n）∈[10³，10⁴]的一切n的取值．（可以直接写出你的结果，不必详细说理） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵A=[1，2]，
∴ax²+（b-1）x+2≤0的解集为[1，2]，
∴方程ax²+（b-1）x+2=0的两个根x₁=1，x₂=2，
由韦达定理得到：a=1，b=-2，
又f（0）=2，所以c=2，
则f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴M=f（-2）=10，m=f（1）=1；
（2）若|ba|≥4，则函数y=f（x）的对称轴x=-b2a∉(-2，2)，
∴f（x）在[-2，2]上单调，
∴M+m=f（-2）+f（2）=8a+2c，与已知矛盾，
∴|ba|＜4；
（3）∵A=2，∴ax²+（b-1）x+2=0有两个等根x₁=x₂=2，
∴c=4a，b=1-4a，f（x）=ax²+（1-4a）x+4a，其对称轴x=4a-12a=2-12a∈(0，2)，(a≥2n)，∴M=f(-2)=16a-2，m=8a-14a，M-m=16a+14a-4，g(n)=2n+4+12n+2-4
满足条件的n取值为6、7、8、9．

点击查看二次函数的性质及应用知识点讲解,巩固学习

解析

ba

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=ax2+bx+c（a，b，c.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。