题文
已知z为虚数，且|z|=5，若z2-2.z为实数．（1）求复数z；
（2）若z的虚部为正数，且ω=z+4sinθ•i（i为虚数单位，θ∈R），求ω的模的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）设z=a+bi（a、b∈R且b≠0，i为虚数单位）．由|z|=5得 a2+b2=5（*）…（1分）
又因为z2-2.z为实数，即（a+bi）2-2（a-bi）为实数，即a2-b2-2a+2b（a+1）i为实数，
所以b（a+1）=0，…（2分）
又 b≠0，所以a=-1．将a=-1代入（*）解得 b=±2．…（4分）
于是 z=-1+2i或z=-1-2i．…（5分）
（2）若z的虚部为正数，则由（1）知，z=-1+2i，所以ω=-1+2i+4sinθ•i，
即ω=-1+（2+4sinθ）•i，…（6分）
所以|ω|=(-1)2+(2+4sinθ)2，即|ω|=16(sinθ+12)2+1，
设t=sinθ（-1≤t≤1），则|ω|=16(t+12)2+1，
它在t∈[-1，-12]上单调递减，在t∈[-12，1]上单调递增．
所以当t=-12，即sinθ=-12，即θ=kπ-(-1)k•π6 (k∈Z)时，|ω|min=1；…（8分）
又当t=-1，即sinθ=-1，即θ=2kπ-π2 (k∈Z)时，|ω|=5，当t=1，即sinθ=1，即θ=2kπ+π2 (k∈Z)时，|ω|=37，所以|ω|max=37．
因此 所求ω的模的取值范围为 [ 1， 37 ]．…（10分）
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解析
.z考点
据考高分专家说，试题“已知z为虚数，且|z|=5，若z2-2......”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
