已知函数f=2x2+ax-1，g=x2-x2a-2．求函数g的解析式，并写出当a=1时，不等式g＜8的解集；若f（x

题文

已知函数f（x）=2x²+ax-1，g（log₂x）=x²-x2a-2．
（1）求函数g（x）的解析式，并写出当a=1时，不等式g（x）＜8的解集；
（2）若f（x）、g（x）同时满足下列两个条件：①∃t∈[1，4]使f（-t²-3）=f（4t） ②∀x∈（-∞，a]，g（x）＜8．
求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令t=log₂t，则x=2^t，
∴g（t）=（2^t）²-2t2a-2=（2^t）²-42a•2t，即g（x）=（2^x）²-42a•2t．
当a=1时，不等式g（x）＜8，即（2^x）²-2•2^x-8＜0．
∴2^x＜4，解得x＜2．
∴不等式g（x）＜8的解集是{x|x＜2}．
（2）①由题意，-a4=-t2-3+4t2，即a=2（t²-4t+3）=2（t-2）²-2，
由t∈[1，4]，得a∈[-2，6]．
②由题意，(2x)2-42a•2x＜8在x∈（-∞，a]上恒成立．
即42a＞2x-82x在x∈（-∞，a]上恒成立．
令μ=2^x，则μ∈（0，2^a]，∴42a＞μ-8μ．
∵函数h(μ)=μ-8μ在（0，2^a]上为增函数，
∴hmax(μ)=h(2a)=2a-82a，
∴42a＞2a-82a，解得2a＜23，
∴a＜log223．
综合①②，符合条件的实数a的取值范围是{a|-2≤a＜log223}．

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解析

2t2a-2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x2+ax-1，g（.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。