已知二次函数f=ax2+bx+c，f=f=0，f的最小值为-1．求函数f的解析式；设g=f（

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（-x）-λf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是减函数，求实数λ的取值范围；
（3）设函数h（x）=log₂[p-f（x）]，若此函数在定义域范围内不存在零点，求实数p的取值范围．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）设f（x）=ax（x+2），又a＞0，f（-1）=-1，
∴a=1，
∴f（x）=x²+2x．（4分）
（2）∵g（x）=f（-x）-λf（x）+1，
∴g（x）=（1-λ）x²-2（1+λ）x+1，
①当λ=1时，g（x）=-4x=1在[-1，1]上是减函数，满足要求；
②当λ≠1时，对称轴方程为：x=1+λ1-λ．
ⅰ）当λ＜1时，1-λ＞0，所以1+λ1-λ≥1，解得0≤λ＜1；
ⅱ）当λ＞1时，1-λ＜0，所以1+λ1-λ≤-1，解得λ＞1．
综上，λ≥0．（7分）
（3）函数h（x）=log₂[p-f（x）]在定义域内不存在零点，必须且只须有
p-f（x）＞0有解，且p-f（x）=1无解．
即[p-f（x）]max＞0，且1不在[p-f（x）]的值域内．
f（x）的最小值为-1，
∴函数y=p-f（x）的值域为（-∞，p+1]．
∴p+1＞01＞p+1，解得-1＜p＜0．
∴p的取值范围为（-1，0）．（10分）

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解析

1+λ1-λ

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点