若函数f=x2+ax+b有两个零点cosα，cosβ，其中α，β∈，那么在f，f两个函数值中A．只有一个小于1B．至少有一

题文

若函数f（x）=x²+ax+b有两个零点cosα，cosβ，其中α，β∈（0，π），那么在f（-1），f（1）两个函数值中（）A．只有一个小于1B．至少有一个小于1C．都小于1D．可能都大于1 题型：未知难度：其他题型

答案

∵函数f（x）=x²+ax+b有两个零点cosα，cosβ，∴cosα+cosβ=-a，cosα×cosβ=b．
∴f（1）=1+a+b=1-cosα-cosβ+cosα cosβ=（1-cosα）（1-cosβ），
f（-1）=1-a+b=1+cosα+cosβ+cosα cosβ=（1+cosα）（1+cosβ）．
∵α，β∈（0，π），下面对α，β分以下三种情况讨论（不妨设α＜β）．
①当0＜α＜β≤π2时，0≤cosβ＜cosα＜1，
∴1＞1-cosα＞0，1≥1-cosβ＞0，1+cosα＞1，1+cosβ≥1，
∴f（1）＜1，f（-1）＞1．
②当π2≤α＜β＜π时，-1＜cosβ＜cosα≤0，
∴0＜1+cosβ＜1，0＜1+cosα≤1，1-cosβ＞1，1-cosα≥1，
∴f（1）＞1，f（-1）＜1．
③当0＜α≤π2＜β＜π时，-1＜cosβ＜0≤cosα＜1，cosαcosβ≤0．
当cosα=0时，f（-1）=1+cosβ＜1．
下面对cosαcosβ＜0用反证法证明f（1）、f（-1）必有一个小于1．
假设f（1）≥1，f（-1）≥1，
则1-cosα-cosβ+cosα cosβ≥1，1+cosα+cosβ+cosα cosβ≥1，
∴cosαcosβ≥cosα+cosβ≥-cosαcosβ，
∴cosαcosβ≥0，
这与cosαcosβ＜0矛盾，故f（1）与f（-1）中必有一个小于1．
对0＜α＜π2≤β＜π时，同理可得f（1）与f（-1）中必有一个小于1．
综上①②③可知：f（1）与f（-1）中必有一个小于1．
故选B．

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解析

π2

考点

据考高分专家说，试题“若函数f（x）=x2+ax+b有两个零点.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点