已知f=-x2+2ax+1-a．若f在[0，1]上的最大值是2，求实数a的值；设M={a∈R：f在区间[-2，3]上的最小值为-1

题文

已知f（x）=-x²+2ax+1-a．
（1）若f（x）在[0，1]上的最大值是2，求实数a的值；
（2）设M={a∈R：f（x）在区间[-2，3]上的最小值为-1}，试求M；
（3）是否存在实数a使f（x）在[-4，2]上的值域为[-12．，13]？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）对称轴x=a，
当a＜0时，[0，1]是f（x）的递减区间，f（x）_max=f（0）=1-a=2，∴a=-1；
当a＞1时，，[0，1]是f（x）的递增区间，f（x）_max=f（1）=a=2，∴a=2；
当0≤a≤1时，f（x）_max=f（a）=）=a^2-a+1=2，解得a=1±52，与0≤a≤1矛盾；
所以a=-1或a=2．
（2）当a＜-2时，区间[-2，3]是f（x）的递减区间，f（x）_min=f（3）=5a-8＜-18，不满足要求；
当a＞3时，区间[-2，3]是f（x）的递增区间，f（x）_min=f（-2）=-5a-3＜18，不满足要求；
当-2≤a≤3时，f（x）_min=f（a）=a²-a+1≥34不满足要求；
综上不存在满足条件的a值，故M=Φ．
（3）当a＜-4时，区间[-4，2]是f（x）的递减区间，则若f（x）_min=f（2）=-12，则a=-3，不满足要求；
当a＞2时，区间[-4，2]是f（x）的递增区间，则若f（x）_min=f（-4）=-12，则a=-13，不满足要求；
当-4≤a≤-1时，f（x）_min=f（2）=3a-3=-12，则a=-3，此时f（x）_max=f（a）=a²-a+1=13，满足要求；
当-1≤a≤2时，f（x）_min=f（-4）=-9a-15=-12，则a=-13，此时f（x）_max=f（a）=a²-a+1=139，不满足要求；
综上，在实数a=-3满足条件．

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解析

1±52

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=-x2+2ax+1-a．（.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点