函数f=-ax2+4x+1的定义域为[-1，2]，若a=2，求函数f的值域；若a为非负常数，且函数f是[-1，2]上的单调函数，求

题文

函数f（x）=-ax²+4x+1的定义域为[-1，2]，
（1）若a=2，求函数f（x）的值域；
（2）若a为非负常数，且函数f（x）是[-1，2]上的单调函数，求a的范围及函数f（x）的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a=2时，f（x）=-2x²+4x+1=-2（x-1）²+3                    …（2分）
当x∈[-1，1]时，f（x）单调递增，当x∈[1，2]时，f（x）单调递减，
f（x）_max=f（1）=3，
又∵f（-1）=-5，f（2）=1，
∴f（x）_min=f（-1）=-5，
∴f（x）的值域为[-5，3]…（6分）
（2）当a=0时，f（x）=4x+1，在[-1，2]内单调递增，…（7分）
当a＞0时，f（x）=-a(x-2a)2+1+4a，…（8分）
又f（x） 在[-1，2]内单调
∴2a≤-1或2a≥2
∴-2≤a＜0或0＜a≤1
∵a＞0
∴0＜a≤1，此时函数在[-1，2]内单调递增
综上：当0≤a≤1时，f（x）在[-1，2]内单调递增，
∵f（x）_min=f（-1）=-a-3，f（x）_max=f（2）=-4a+9，
∴值域为[-a-3，-4a+9]
故a的取值范围是[0，1]，f（x）值域为[-a-3，-4a+9]-----（12分）

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解析

2a

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）=-ax2+4x+1的定义域.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。