题文
设G为△ABC的重心，过G的直线l分别交△ABC的两边AB、AC于P、Q，已知AP=λAB，AQ=μAC，△ABC和△APQ的面积分别为S、T．（1）求证：1λ+1μ=3；
（2）求TS的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）设AB=c，AC=b连接AG并延长AG交BC于M，此时M是BC的中点．于是AM=12（AB+AC）=12（b+c）
AG=13（b+c）
又由已知AP=λAB=λc．AQ=μAC=μb．
∴PQ=AQ-AP=μb-λcc
PG=AG+PA=13（b+c）-λc=（13-λ） c+13b
因为P、G、Q三点共线，则存在实数t，满足PG=tPQ
所以（13-λ） c+13b=tμb-tλc
由向量相等的条件得 13-λ=-tλ13=tμ.消去参数t得，13-λ13=-λμ，
即1λ+1μ=3．…（6分）
（2）由于△APQ与△ABC有公共角，则TS=|AP|×|AQ||AB|×|AC|=λμ，
由题设有0＜λ≤1，0＜μ≤1，于是1λ≥1，1μ≥1，
∵1λ=3-1μ≤2，∴1≤1λ≤2，
∵1λ+1μ=3∴μ=λ 3λ-1TS=λμ=λ23λ-1=1-1λ2+31λ=1-(1λ-32)2+94…（12分）
∵1≤1λ≤2，∴当1λ=32时，-（1λ-32）2+94有最大值94，
λ=1或2时，-（1λ-32）2+94有最小值2．
∴TS的取值范围为[49，12]．…14
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解析
AB考点
据考高分专家说，试题“设G为△ABC的重心，过G的直线l分别交.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
