已知f、g都是定义在R上的函数，若存在实数m、n使得h=m•f+n•g，则称h为f、g在R上生成的函数．若f（x

题文

已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，若存在实数m、n使得h（x）=m•f（x）+n•g（x），则称h（x）为f（x）、g（x）在R上生成的函数．若f（x）=2cos²x-1，g（x）=sinx．
（1）判断函数y=cosx是否为f（x）、g（x）在R上生成的函数，并说明理由；
（2）记l（x）为f（x）、g（x）在R上生成的一个函数，若l(π6)=2，且l（x）的最大值为4，求l（x）．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）函数y=cosx不是f（x）、g（x）在R上生成的函数．
理由：假设函数y=cosx是f（x）、g（x）在R上生成的函数，
则存在实数m、n使得cosx=m（2cos²x-1）+nsinx
令x=0，得1=m+0①
令x=π，得-1=m②
由①②矛盾知：函数y=cosx不是f（x）、g（x）在R上生成的函数
（2）设l（x）=a（2cos²x-1）+bsinx（a，b∈R）
则l(π6)=12a+12b=2，∴a+b=4，∴l（x）=-2asin²x+（4-a）sinx+a
设t=sinx，则函数l（x）可化为：y=-2at²+（4-a）t+a，t∈[-1，1]
当a=0时，函数化为：y=4t，t∈[-1，1]
∵当t=1时，y_max=4∴l（x）=4sinx，符合题意
当a＞0时，函数化为：y=-2a(t-4-a4a)2+a+(4-a)28a
当4-a4a≥1时，即0＜a≤45时
∵当t=1时，y_max=4-2a
∴由4-2a=4得a=0，不符合a＞0舍去
当-1＜4-a4a＜1时，即a＞45或a＜-43（舍去）时
∵当t=4-a4a时，ymax=a+(4-a)28a
∴由ymax=a+(4-a)28a=4，得a=4或a=49（舍去）
∴b=0∴l（x）=4（2cos²x-1），符合题意
当4-a4a≤-1时，即-43≤a＜0时，不符合a＞0舍去
当a＜0时，函数y=-2a(t-4-a4a)2+a+(4-a)28a的对称轴t=4-a4a＜0
∵当t=1时，y_max=4-2a
∴由y_max=4-2a=4得a=0，不符合a＜0舍去
综上所述，l（x）=4sinx或l（x）=4（2cos²x-1）

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解析

π6

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点