已知二次函数y=g的图象经过点O、A与点P，设函数f=g在x=a和x=b处取到极值，其中m＞n

题文

已知二次函数y=g（x）的图象经过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），设函数f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b处取到极值，其中m＞n＞0，b＜a．
（1）求g（x）的二次项系数k的值；
（2）比较a，b，m，n的大小（要求按从小到大排列）；
（3）若m+n≤2，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=f（x）均相切，求y=f（x）．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）由题意可设g（x）=kx（x-m），k≠0，
又函数图象经过点P（m+1，m+1），则m+1=k（m+1）（m+1-m），得k=1．…（2分）
（2）由（1）可得y=g（x）=x（x-m）=x²-mx．
所以f（x）=（x-n）g（x）=x（x-m）（x-n）=x³-（m+n）x²+mnx，
f′（x）=3x²-2（m+n）x+mn，…（4分）
函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，
故f′（a）=0，f′（b）=0，…（5分）
∵m＞n＞0，
∴f′（m）=3m²-2（m+n）m+mn=m²-mn=m（m-n）＞0…（7分）
f′（n）=3n²-2（m+n）n+mn=n²-mn=n（n-m）＜0
又b＜a，故b＜n＜a＜m．                                 …（8分）
（3）设切点Q（x₀，y₀），则切线的斜率k=f/(x0)=3x02-2(m+n)x0+mn
又y0=x03-(m+n)x02+mnx0，所以切线的方程是y-x03+(m+n)x02-mnx0=[3x02-2(m+n)x0+mn](x-x0)…（9分）
又切线过原点，故-x03+(m+n)x02-mnx0=-3x03+2(m+n)x02-mnx0
所以2x03-(m+n)x02=0，解得x₀=0，或x0=m+n2．  …（10分）
两条切线的斜率为k1=f/(0)=mn，k2=f/(m+n2)，
由m+n≤22，得（m+n）²≤8，
∴-14(m+n)2≥-2，
∴k2=f/(m+n2)=3(m+n)24-2(m+n)×m+n2+mn=-14(m+n)2+mn≥mn-2，
…（12分）
所以k1k2≥mn(mn-2)=(mn)2-2mn=(mn-1)2-1≥-1，
又两条切线垂直，故k₁k₂=-1，所以上式等号成立，有m+n=22，且mn=1．
所以f(x)=x3-(m+n)x2+mnx=x3-22 x2+x．              …（14分）

点击查看二次函数的性质及应用知识点讲解,巩固学习

解析

m+n2

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数y=g（x）的图象经过点O（.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点