已知二次函数f=x2-mx+m同时满足：不等式f≤0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f

题文

已知二次函数f（x）=x²-mx+m（x∈R）同时满足：（1）不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；（2）在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），bn=1-8-man，我们把所有满足b_i•b_i+1＜0的正整数i的个数叫做数列{b_n}的异号数．根据以上信息，给出下列五个命题：
①m=0；
②m=4；
③数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-5；
④数列{b_n}的异号数为2；
⑤数列{b_n}的异号数为3．
其中正确命题的序号为______．（写出所有正确命题的序号） 题型：未知 难度：其他题型

答案

若不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，根据二次函数的性质，应有△=（-m）²-4m=0 解得m=0或m=4．
当m=0时，f（x）=x²在（0，+∞）上是增函数，不满足（2），①错误
当m=4时，f（x）=x²-4x+4=（x-2）²，取0＜x₁=1＜x₂=2 使得不等式f（x₁）＞f（x₂），故m=4，②正确．
由上S_n=f（n）=（n-2）²，当n=1时，a₁=S₁=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5．
∴an=1    n=12n-5     n≥2        ③错误
当n=1时，b₁=1-4=-3＜0，而b₂=1-4a2=5＞0，b₁b₂＜0，所以i可以为1．
n≥2时，b_n•bn+1=（1-42n-5）（1-42n-3）=(2n-9)(2n-7)(2n-5)(2n-3)＜0
解得n=2，4．即i=2、4
即数列{b_n}的异号数为3．   ④错误，⑤正确
故答案为：②⑤

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解析

1    n=12n-5     n≥2

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=x2-mx+m（x.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。