设函数f=x2+x+a2+3a．若f在[0，2]上的最大值为0，求a的值；若f在闭区间[α，β]上单调，且

题文

设函数f（x）=x²+（2a+1）x+a²+3a（a∈R）．
（I）若f（x）在[0，2]上的最大值为0，求a的值；
（II）若f（x）在闭区间[α，β]上单调，且{y|y=f（x），α≤x≤β}=[α，β]，求α的取值范围．题型：未知难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当-2a+12≤1，即：a≥-32时，f(x)max=f(2)=a2+7a+6=0．
故 a=-6（舍去），或a=-1；
当-2a+12＞1，即：a＜-32时，f(x)max=f(0)=a2+3a=0．
故a=0（舍去）或a=-3．
综上得：a的取值为：a=-1或a=-3．（5分）
（Ⅱ）若f（x）在[α，β]上递增，则满足：（1）-2a+12≤α；（2）f(α)=αf(β)=β，
即方程f（x）=x在[-2a+12，+∞）上有两个不相等的实根．
方程可化为x²+2ax+a²+3a=0，设g（x）=x²+2ax+a²+3a，
则 -2a+12＜-a△＞0g(-2a+12)≥0，解得：-112≤a＜0．（5分）
若f（x）在[α，β]上递减，则满足：
（1）-2a+12≥β；（2）f(α)=βf(β)=α．
由α2+(2a+1)α+a2+3a=ββ2+(2a+1)β+a2+3a=α得，两式相减得（α-β）（α+β）+（2a+1）（α-β）=β-α，即α+β+2a+1=-1．
即β=-α-2a-2．
∴α²+（2a+1）α+a²+3a=-α-2a-2，即α²+（2a+2）α+a²+5a+2=0．
同理：β²+（2a+2）β+a²+5a+2=0．
即方程x²+（2a+2）x+a²+5a+2=0在(-∞，-2a+12]上有两个不相等的实根．
设h（x）=x²+（2a+2）x+a²+5a+2，则-2a+12＞-a-1△＞0h(-2a+12)≥0，解得：-512≤a＜-13．（5分）
综上所述：a∈[-512，-13)∪[-112，0)．

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解析

2a+12

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x2+（2a+1）x+a.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点