题文
设函数y=f（x）满足：对任意的实数x∈R，有f（sinx）=-cos2x+cos2x+2sinx-3．（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f(x)=2a|x-12|有解，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）f（sinx）=2sin2x-1+1-sin2x+2sinx-3=sin2x+2sinx-3，所以f（x）=x2+2x-3（-1≤x≤1）．
（Ⅱ）①当x=12时，f(12)≠0，不成立．
②当-1≤x＜12时，x-12＜0，
令t=12-x，则x=12-t，0＜t≤32，2a=(12-t)2+2(12-t)-3t=t-74t-3，
因为函数h(t)=t-74t-3在(0，32]上单增，所以2a≤h(32)=-83⇒a≤-43．
③当12＜x≤1时，x-12＞0，
令t=x-12，则x=12+t，0＜t≤12，2a=(12+t)2+2(12+t)-3t=t-74t+3，
因为函数g（t）=t-74t+3在(0，12]上单增，所以2a≤g（12）=0⇒a≤0．
综上，实数a的取值范围是（-∞，0]．
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解析
12考点
据考高分专家说，试题“设函数y=f（x）满足：对任意的实数x∈.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
