题文
已知二次函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）．（1）若函数f（x）无零点，求证：b＞0；
（2）若函数f（x）有两个零点，且两零点是相邻两整数，求证：f(-a)=14(a2-1)；
（3）若函数f（x）有两非整数零点，且这两零点在相邻两整数之间，试证明：存在整数k，使得|f(k)|＜14． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）证明：f（x）=x2+ax+b无零点，△=a2-4b＜0，
b＞a24≥0．
（2）证明：设f（x）=（x-m）（x-m-1），m∈Z，
则2m+1=-a，m(m+1)=b=14(a2-1)，
所以f(-a)=b=14(a2-1)．
（3）证明：设相邻两整数为t、t+1，则f（t）＞0，f（t+1）＞0且△=a2-4b＞0，
根据二次函数的单调性，f/（t）=2t+a＜0，f/（t+1）=2（t+1）+a＞0，
从而-2（t+1）＜a＜-2t即-1＜t+a2＜0．
所以0＜t+a2+1≤12或-12＜t+a2＜0．
若0＜t+a2+1≤12，
则0＜f(t+1)=(t+1+a2)2+(b-a24)＜14，从而|f(t+1)|＜14；
若-12＜t+a2＜0，
则0＜f(t)=(t+a2)2+(b-a24)＜14，从而|f(t)|＜14．
所以，存在整数k（k=t或k=t+1），使得|f(k)|＜14．
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解析
a24考点
据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=x2+ax+b（a.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
