题文
已知f（x）=13ax3-2x2+cx的导函数的值域为[0，+∞），是ac2+4+ca2+4的最小值为（ ）A．0B．14C．12D．1 题型：未知 难度：其他题型答案
f（x）=13ax3-2x2+cx的导数为f′（x）=ax2-4x+c∵导函数的值域为[0，+∞），
∴a＞0△=16-4ac=0
解得：a＞0ac=4
∵ac2+4+ca2+4=a3+c3 +4(a+c)(c2+4)(a2+4)=a3+c3 +4(a+c)a2c2+4(a2+c2)+16=(a+c)[(a+c)2-3ac+4]16+4(a+c)2-8ac+16
=(a+c)[(a+c)2-3ac+4]4(a+c)2=(a+c)3-8(a+c)4(a+c)2=a+c4-2a+c
设t=a+c≥2ac=4，∴t∈[4，+∞）
∴ac2+4+ca2+4=t4-2t
设g（t）=t4-2t t∈[4，+∞）
g′（t）=14+2t2＞0，
∴g（t）在 t∈[4，+∞）为增函数
∴g（t）∈[12，+∞）
∴ac2+4+ca2+4的最小值为12
故选C
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解析
13考点
据考高分专家说，试题“已知f（x）=13ax3-2x2+cx的.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
