已知函数f=ax2+bx+c，满足f=0，且a2+[f+f]•a+f•f=0．求证a＞0，c＜0

题文

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），满足f（1）=0，且a²+[f（m₁）+f（m₂）]•a+f（m₁）•f（m₂）=0．
（1）求证a＞0，c＜0且b≥0；
（2）求证f（x）的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是[2，3）；问能否得出f（m₁+3），f（m₂+3）中至少有一个为正数，请证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）∵函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），满足f（1）=0，
∴a+b+c=0．（1分）
若a≤0，∵a＞b＞c∴b＜0，c＜0，
则有a+b+c＜0，这与a+b+c=0矛盾，∴a＞0成立．（2分）
若c≥0，则有b＞0，a＞0，此时a+b+c＞0，这与a+b+c=0矛盾，
∴c＜0成立．（3分）
∵a²+[f（m₁）+f（m₂）]•a+f（m₁）•f（m₂）=0
∴[a+f（m₁）]•[a+f（m₂）]=0，∴m₁，m₂是方程f（x）=-a的两根
∴△=b²-4a（a+c）=b（b+4a）=b（3a-c）≥0
而a＞0，c＜0∴3a-c＞0，
∴b≥0．（4分）
（2）f（1）=0，∴1是方程f（x）=0的一个根，
设x₁=1，另一个根为x₂，有x2=-ba-1，x2=ca．
∵b=-a-c≥0，a＞0，∴ca≤-1；
又a＞0，a＞-a-c＞c，∴-2＜ca≤-1，
∴2≤1-ca＜3，即2≤|x₁-x|＜3，
故f（x）的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是[2，3）．（8分）
设f(x)=a(x-x1)(x-x2)=a(x-1)(x-ca)
由已知f（m₁）=-a或f（m₂）=-a，不妨设f（m₁）=-a
则a(m1-1)(m1-ca)=-a＜0，∴ca＜m₁＜1
∴m₁+3＞ca+3＞1，
∴f（m₁+3）＞f（1）＞0，
同理当f（m₂）=-a，有f（m₂+3）＞0，
所以f（m₁+3），f（m₂+3）中至少有一个为正数．（12分）

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解析

ba

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。