设α、β为函数g=2x2-mx-2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f(x)=4x-mx2+1•求f•g的值；证明：函数f在

题文

设α、β为函数g（x）=2x²-mx-2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f(x)=4x-mx2+1•
（ I）求f（a）•g（x）的值；
（Ⅱ） 证明：函数f（x）在[α，β]上为增函数；
（III） 是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]上的最大值与最小值之差达到最小．若存在，则求出实数m的值；否则，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（ I）由题意可得α+β=m2αβ=-1，故 f（α）•f（β）=4a-ma2+1×4β-mβ2+1=16αβ-4m(α+β)+m2(αβ)2+(α+β)2-2αβ+1=-4．（4分）
（Ⅱ）∀x₁，x₂∈[α，β]，x₁＜x₂ ，可得f(x1)-f(x2)=(x2-x1)[4x1x2-4-m(x2+x1)](x21+1)(x22+1)．
∵（x₁-α）（x₂-β）≤0，（x₁-β）（x₂-α）＜0，两式相加可得 2x₁x₂-（α+β）（x₁+x₂）+2αβ＜0．
∵α+β=m2，αβ=-1，∴（x₂-x₁）[4x₁x₂-4-m（x₂+x₁）]＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴函数f（x）在[α，β]上为增函数．（4分）
（III）函数f（x）在[α，β]上的最大值与最小值之差为 f(β)-f(α)=f(β)+4f(β)≥4，
当且仅当 f（β）=4f(β) 时，等号成立，此时，f（β）=2，即 4β-mβ2+1=2，2β²-mβ-2=0．
结合α+β=m2，αβ=-1可得m=0．
综上可得，存在实数m=0，满足条件．（5分）

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解析

α+β=m2αβ=-1

考点

据考高分专家说，试题“设α、β为函数g（x）=2x2-mx-2.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。