已知函数f=x2+x+lgb满足f=-2，且对于任意x∈R恒有f≥2x成立．求实数a，b的值；设g=f

题文

已知函数f（x）=x²+（lga+2）x+lgb满足f（-1）=-2，且对于任意x∈R恒有f（x）≥2x成立．
（1）求实数a，b的值；
（2）设g（x）=f（x）-2x，若存在实数t，当x∈[1，m]时，g（x+t）≤x恒成立，求实数m的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（-1）=-2知，lgb-lga+1=0①，∴a=10b②．
又对于任意x∈R，f（x）≥2x恒成立，即f（x）-2x≥0恒成立，则x²+x•lga+lgb≥0恒成立，故△=lg²a-4lgb≤0，
将①式代入上式得：lg²b-2lgb+1≤0，即（lgb-1）²≤0，故lgb=1，即b=10，代入②得，a=100；
故a=100，b=10．
（2）g（x）=f（x）-2x=x²+2x+1=（x+1）²，
∵存在实数t，当x∈[1，m]时，g（x+t）≤x恒成立，即（x+t+1）²≤x恒成立．
∴∃t∈R，-x≤x+t+1≤x，即-x-x≤t+1≤x-x，x∈[1，m]恒成立．
设x=u≥1，则-u-u²≤t+1≤u-u²，
∴(-u-u2)max≤t+1≤(u-u2)min，
∵当m≥u≥1时，-u2-u=-(u+12)2+14单调递减，故u=1时取得最大值-2；
-u2+u=-(u-12)2+14单调递减，故u=m时取得最小值m-m．
∴-2≤t+1≤m-m．
∴-2≤m-m，即(m)2-m-2≤0，化为(m+1)(m-2)≤0，
又m≥1，解得1＜m≤2，解得1＜m≤4，
∴实数m的最大值是4．

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解析

x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+（lga+2）x.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。