已知函数f=lg当t=-52，求函数f的定义域；当x∈[0，2]，求f的最小值；是否存在不同的

题文

已知函数f（x）=lg（x²+tx+1）
（1）当t=-52，求函数f（x）的定义域；
（2）当x∈[0，2]，求f（x）的最小值（用t表示）；
（3）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）x2-52x+1＞0⇒f(x)的定义域(-∞，12)∪(2，+∞)（2分）
（2）令g（x）=x²+tx+1，结合图象可得
①当-t2≤0，即t≥0时，g(x)min=g(0)=1∴f(x)min=0…(1分)
②当0＜-t2＜2，即-4＜t＜0时，g(x)min=g(-t2)=1-t24
考虑到g（x）＞0，所以
1°-2＜t＜0，f(x)min=f(-t2)=lg(1-t24)…(1分)
2°-4＜t≤-2，没有最小值…（1分）
③当-t2≥2，即t≤-4时，g(x)min=g(2)=5+2t
考虑到g（x）＞0∴f（x）没有最小值…（1分）
综上所述：当t≤-2时f（x）没有最小值；
当t＞-2时f(x)=lg(1-t24)，-2＜t＜00，t≥0…(2分)
（3）解法一：假设存在，则由已知得a2+ta+1=ab2+tb+1=b0＜a，b＜2a≠b等价于x²+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根…..（2分）令h（x）=x²+（t-1）x+1在（0，2）上有两个不同的零点
∴h(0)＞0h(2)＞0△＞00＜-b2a＜2⇒1＞0t＞-32(t-1)2-4＞00＜-t-12＜2⇒-32＜t＜-1（2分）
解法2：假设存在，则由已知得a2+ta+1=ab2+tb+1=b0＜a，b＜2a≠b等价于x²+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根（2分）
等价于t=-(1x+x)+1，x∈(0，2)，做出函数图象
可得-32＜t＜-1（2分）

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解析

52

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lg（x2+tx+1）.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。