已知二次函数f=ax2+bx，且f为偶函数，定义：满足f=x的实数x称为函数f的“不动点”，若函数f有且仅有一个不动

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），且f（x+1）为偶函数，定义：满足f（x）=x的实数x称为函数f（x）的“不动点”，若函数f（x）有且仅有一个不动点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）+kx²在（0，4）上是增函数，求实数k的取值范围；
（3）是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）由题意可得，二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的对称轴为x=-b2a=1，
∴b=-2a，
f（x）=ax²-2ax．
再根据函数f（x）有且仅有一个不动点，可得ax²-2ax=x只有一个解，
故△=（2a+1）²-0=0，
∴a=-12，b=1
∴f（x）=-12x²+x
（2）∵函数g（x）=f（x）+kx²=（k-12）x²+x
当k-12=0，即k=12时，
g（x）=x在（0，4）上是增函数，满足要求；
当k-12＞0，即k＞12时，
若g（x）=x在（0，4）上是增函数，
则11-2k≤0，解得k＞12，
当k-12＜0，即k＜12时，
若g（x）=x在（0，4）上是增函数，
则11-2k≥4，解得38≤k＜12，
综上所述，实数k的取值范围为[38，+∞）
（3）f（x）=-12x²+x=-12（x-1）²+12≤12
∵f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]
∴3n≤12
∴n≤16
故m＜n≤16
∴f（x）在区间[m，n]上为增函数
∴

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解析

b2a

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx（a≠.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点