已知函数f(x)=12x2-mlnx+(m-1)x，m∈R．当m=2时，求函数f的最小值；当m≤0时，讨论函数f的单调性；求证：当

题文

已知函数f(x)=12x2-mlnx+(m-1)x，m∈R．
（1）当m=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当m≤0时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）求证：当m=-2时，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有f(x2)-f(x1)x2-x1＞-1．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当m=2时，f′(x)=x2+x-2x=(x-1)(x+2)x．
∴当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，
x∈（1，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=1时取得最小值，其最小值为f（1）=32．
（2）∵f′(x)=x-mx+(m-1)=x2+(m-1)x-mx=(x-1)(x+m)x
∴①当-1＜m≤0即-m＜1时，
若x∈（0，-m）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（-m，1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数
②当m=-1时，
f′(x)=(x-1)2x≥0，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．
③当m＜-1即-m＞1时，
x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（1，-m）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（-m，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
证明：（3）不妨设0＜x₁＜x₂，要证明f(x2)-f(x1)x2-x1＞-1，
即证明：f（x₂）+x₂＞f（x₁）+x₁
当m=-2时，函数f(x)=12x2+2lnx-3x．
考查函数h(x)=f(x)+x=12x2+2lnx-2x
∵h′(x)=x+2x-2=x2-2x+2x=(x-1)2+1x＞0
∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，
对任意0＜x₁＜x₂，h（x₂）＞h（x₁），
所以f（x₂）+x₂＞f（x₁）+x₁，
∴f(x2)-f(x1)x2-x1＞-1
命题得证

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解析

x2+x-2x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=12x2-mlnx+(.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点