题文
对于正整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r，0≤r＜b。特别地，当r=0时，称b能整除a，记作b|a，已知A={1，2，3，…，23}，(1)存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），试求q，r的值；
(2)求证：不存在这样的函数f：A→{1，2，3}，使得对任意的整数x，y∈A，若|x-y|∈{1，2，3}，则f（x）≠f（y）；
(3)若B
A，card（B）=12（card（B）指集合B中的元素的个数），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，则称B为“和谐集”。求最大的m∈A，使含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由。 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)解：因为
；
(2)证明：假设存在这样的函数f：A→{1，2，3}，
使得对任意的整数
，
若
，
设
，
由已知a≠b，
由于
，
所以
。
不妨令
，这里
，
同理，
，
因为{1，2，3}只有三个元素，所以
，
即
，与已知矛盾；
因此假设不成立，
即不存在这样的函数
，
使得对任意的整数
，
若
。
(3)解：当m=8时，记
，
记P=CMN，
则
，
显然对任意
，不存在n≥3，使得
成立，
故P是非“和谐集”，
此时
；
同样的，当
时，存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”，因此m≤7；
下面证明：含7的任意集合A的有12个元素的子集为“和谐集”，
设
，
若1，14，21中之一为集合B的元素，显然为“和谐集”；
现考虑1，14，21都不属于集合B，
构造集合
，
，
以上
每个集合中的元素都是倍数关系，
考虑
的情况，也即B′中5个元素全都是B的元素，B中剩下6个元素必须从
这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B中至少有两个元素存在倍数关系；
综上所述，含7的任意集合A的有12个元素的子集B为“和谐集”，即m的最大值为7。
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解析
该题暂无解析
考点
据考高分专家说，试题“对于正整数a，b，存在唯一一.....”主要考查你对 [集合的含义及表示 ]考点的理解。 集合的含义及表示集合的概念：
1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）； 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。
元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2、元素与集合的关系：
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集
常用数集及其表示方法：
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q
（5）实数集：全体实数的集合.记作R
集合中元素的特性：
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.
易错点:
（1）自然数集包括数0.
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z
