已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R，k表示ai+aj中所有不同值的个数．已知集合P={

题文

已知集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），k（A）表示a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（1）已知集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求k（P）和k（Q）；
（2）若集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，证明：k(A)=n(n-1)2；
（3）求k（A）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知K（P）中的值有6，8，10，12和14五个值，∴k（P）=5，
K（Q）中的值有6，10，18，12，20，24，∴k（Q）=6
（2）证明：a_i+a_j（1≤i＜j≤n）共有C2n=n(n-1)2个
所以k(A)≤n(n-1)2
下面证明所有a_i+a_j（1≤i＜j≤n）各不相同
任取a_i+a_j和a_k+a_l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n）
当j=l时，若a_i+a_j=a_k+a_l，则a_i=a_k，矛盾
当j≠l时，若a_i+a_j=a_k+a_l，则a_i+a_j＜2a_j=2^j+1≤a_l＜a_k+a_l
即a_i+a_j≠a_k+a_l
所以所有a_i+a_j（1≤i＜j≤n）各不相同，所以k(A)=n(n-1)2
（3）不妨设a₁＜a₂＜＜a_n，
所以a₁+a₂＜a₁+a₃＜＜a₁+a_n＜a₂+a_n＜＜a_n-1+a_n
所以a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中至少有2n-3个不同的数，即k（A）≥2n-3
取A={1，2，3，n}，则a_i+a_j∈{3，4，5，••，2n-1}共2n-3个
所以k（A）的最小值2n-3

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解析

C2n

考点

据考高分专家说，试题“已知集合A={a1，a2，a3，…，an.....”主要考查你对 [集合的含义及表示 ]考点的理解。 集合的含义及表示

集合的概念：

1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）； 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。
      元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2、元素与集合的关系： 
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A 
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集

常用数集及其表示方法： 

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N 
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+ 
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z 
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q 
（5）实数集：全体实数的集合.记作R 

集合中元素的特性：

（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的. 
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.

易错点:
（1）自然数集包括数0.         
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z